Principios didácticos

El análisis de la Historia de las Matemáticas puede indicarnos algunas directrices para el desempeño de nuestra labor docente. Vamos a analizarlas inmediatamente.

• Por ejemplo, si nos fijamos el Cálculo Infinitesimal nació en el último tercio del siglo XVII de la mano de Newton y Leibniz, y durante todo el siglo XVIII evolucionó de modo espectacular. Los hermanos Bernouilli, D’Alembert, y Lagrange, entre otros, fueron construyendo la teoría mediante un proceso de resolución de problemas en buena medida suministrados por la Física, para los que crearon métodos específicos.

Asimismo, podemos hacer reflexiones análogas sobre otras partes de las Matemáticas en las cuales se ha evolucionado de lo particular a lo general, de lo concreto a lo abstracto. En la Enseñanza de las Matemáticas, sin embargo, no suele ocurrir así y solemos proceder al revés, como se observa en el ejemplo siguiente.

Habitualmente, se presentan a los estudiantes las fórmulas y sus demostraciones antes que ejemplos numéricos de las mismas. Por ello, es muy frecuente que algunos soliciten explicar “con números” en vez de “con letras”, o nos demanden algunos ejemplos antes de definir un concepto o formular una proposición.

Así, en “Métricas” de Herón de Alejandría (siglo I d. C.), se actúa de la siguiente forma: “Hay un método general para encontrar, sin medir perpendiculares (esto es, alturas), el área de un triángulo cualquiera dados sus tres lados”. Luego, se realiza un ejemplo numérico: el triángulo de lados 7, 8 y 9 y se prueba que el área es √720. Después, se realiza la demostración geométrica de que el área del triángulo es:

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

donde a, b, c son las medidas de sus lados y p el semiperímetro. Por último, se concluye con otro ejemplo diferente: el triángulo de lados 13, 14 y 15, cuya área es 84.

Como conclusión, después de la lectura de muchos textos históricos matemáticos, podemos decir que la racionalización en Matemáticas debe hacerse tratando de buscar, a partir de casos particulares la posterior generalización.

• La Historia de la Matemática nos debe ayudar para que ésta se presente de una forma más humana:

• Al dejar constancia de que lo que se está aprendiendo es fruto de una actividad humana que tiene sus orígenes, bien en inquietudes relacionadas con la subsistencia o modo de organización de la sociedad, bien en el intento de responder a cuestiones surgidas en el seno de las Ciencias en general.

• Al resaltar las dificultades, anécdotas y ciertos semblantes personales de algunos matemáticos.

• Al comprobar la cooperación existente entre los matemáticos para llegar a buenos resultados. Observamos que los descubrimientos no han sido siempre producto de mentes deslumbrantes de personas aisladas. Por el contrario, frecuentemente han sido logrados como consecuencia de la colaboración de muchos, y como fruto de avances progresivos durante muchos siglos.

• La Historia nos suministra una perspectiva crítica, sin ella los conceptos matemáticos se alteran, se desconceptualizan y se apartan de la problemática de donde emergieron. Nos encontramos entonces en presencia del fenómeno denominado la “transposición didáctica”.

Chevallard (1997) escribe sobre este proceso de “deshistorización”, de “despersonalización” del saber: “El  saber toma entonces el aspecto de una realidad antihistórica, intemporal, que se impone por sí misma; que no teniendo creador, aparece libre con relación a todo el proceso de génesis, no pudiéndose hacer constar el origen, la utilidad, la pertinencia”.

El esquema siguiente, reproducido de M. C. Chamorro (2003, p. 85), muestra el Conjunto de transformaciones que sufre un saber para ser enseñado (Yves Chevallard).

El saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico al saber científico, y su legitimidad depende de la relación que éste establezca desde el punto intermedio en el que se encuentra respecto de los académicos y del saber común de los padres.

Esta distancia, entre el saber que se debe enseñar y el saber científico, es negada porque de dicha negación depende, en parte, la legitimación. La transformación de los conocimientos en su proceso de adaptación supone la delimitación de conocimientos parciales, la descontextualización y finalmente una despersonalización.

A propósito de la despersonalización del saber, señala Chevallard que todo saber, está conectado originalmente con su productor puesto que se encarna en él. Compartir ese saber, aún en el interior de la comunidad académica, supone cierto grado de despersonalización, que constituye un requisito para la publicidad del saber. Por ejemplo, menciona que lo que hoy conocemos como "Mecánica clásica", fue en principio un saber personal (casi esotérico, agrega) de Isaac Newton. Fueron las presiones de su entorno las que produjeron el nacimiento de los "Principia". Pero sin duda, este proceso que se inicia dentro de la misma comunidad académica, completa su ciclo en el momento de la enseñanza.

La Historia de las Matemáticas debe recordarnos el papel práctico de las mismas. La mayoría de los conceptos matemáticos fueron creados para resolver problemas de la vida cotidiana. Gran parte de estos problemas han caído en el olvido, enseñándose frecuentemente unas Matemáticas carentes de sentido.

• El conocimiento de cómo se fueron forjando paulatinamente los conceptos y las notaciones matemáticas nos ayuda muchas veces a comprender mejor ciertos errores de nuestros alumnos, así como a diseñar situaciones didácticas más apropiadas para un aprendizaje progresivo y fructífero de determinados conceptos matemáticos.

Asimismo, la Historia de las Matemáticas puede suministrarnos algunos recursos para que los alumnos no cometan errores. Así, en los “Elementos” de Euclides aparecen muchas igualdades algebraicas a partir de construcciones geométricas, que nos pueden ayudar a comprender mejor los problemas planteados. 

• Arquímedes de Siracusa (285-212 a.C.), matemático, físico e inventor griego, empleaba un nuevo método, “el método heurístico”, que también fue utilizado a lo largo de la historia por otros matemáticos famosos, como Descartes, Leibniz y Bolzano. La Historia de las Matemáticas nos muestra cómo algunos matemáticos importantes aplicaron este método para realizar sus descubrimientos. Sería conveniente que también se empleara para el aprendizaje de los alumnos.  

Sin embargo, sería prácticamente imposible, recorrer con exactitud la evolución histórica de los conceptos. La ayuda que puede encontrar el profesor en la Historia de la Matemática, no debe convertirse en la realización de un planteamiento historicista gobernado por razones de fidelidad histórica. Lo que debemos hacer es extraer de la Historia la problemática que permita redescubrir a los estudiantes, por medio de su actividad investigadora, los conocimientos que suelen darse con frecuencia totalmente elaborados. La tarea del profesor debe consistir en una reelaboración del material histórico para preparar guías de trabajo asequibles al nivel del grupo, lo que conllevará a simplificaciones y alteraciones del proceso histórico.

• Las Matemáticas deben enseñarse relacionándolas con la evolución cultural general y con las demás ciencias, haciendo ver que forman parte de la cultura. El conocimiento de la Historia de las Matemáticas, puede contribuir a proporcionar al alumno la conciencia de que la Matemática es uno de los factores relevantes de la evolución cultural, y a impulsar el desarrollo de su cultura general.       

Esa cultura general, enciclopédica, a la que debe de tender la Enseñanza Secundaria, fue incluida en la Edad Media dentro de las denominadas “Artes Liberales”. Éstas eran siete y se caracterizaban por demandar principalmente el ejercicio del entendimiento.

En esa época se hablaba de las “Artes Liberales”, conocimientos a los que debía acceder de manera gradual todo ser humano básicamente instruido. Éstas se dividían en dos grupos: “el Trivium (la triple vía) y el Cuadrivium (la cuádruple vía).

Al Trivium correspondían: La Gramática, la Dialéctica y la Retórica, y al Cuadrivium: La Aritmética (estudio de los “números en reposo”), la Geometría, la Música y la Astronomía (“magnitudes en movimiento”).

Con las tres primeras se aprendía a pensar y razonar debidamente por medio del conocimiento y significado de la lengua (Gramática), la coherencia lógica de la misma (Dialéctica), y finalmente, por su aplicación al discurso y la palabra (Retórica), verdaderos soportes y vehículos todos ellos del pensamiento. Sólo a través del Trivium, de las palabras, voces y nombres de las cosas, podía accederse a las Ciencias del Cuadrivium, que eran superiores a aquéllas por cuanto que expresaban, y expresan, un conocimiento más esencial y profundo.

Las cuatro Ciencias del Cuadrivium se referían directamente al estudio de los ritmos y de los ciclos, de la proporción y la medida, que como sabemos conforman la estructura prototípica de todas las cosas.

Se trataba entonces de impartir una formación integral y generalista, algo cada vez más en desuso. La Historia de la Matemática debe ser uno de los elementos que contribuyan al resurgimiento de ese ideal.

Las dos ramas iniciales de la Matemática: Aritmética y Geometría, brotaron para solucionar problemas de la vida cotidiana. La primera por la necesidad del empleo de los números para contar y formalizar actividades comerciales, y la segunda para realizar toda clase de mediciones. A lo largo de los siglos, las Matemáticas se fueron desarrollando por dos razones fundamentales: Para resolver necesidades sociales o de la vida diaria y como ayuda  en otras ciencias.

El siguiente cuadro, reproducido de J. Peralta (1995), pp. 106-107, muestra cómo ciertas necesidades sociales, originaron el desarrollo de herramientas matemáticas adecuadas.

De todo lo expuesto anteriormente, podemos resaltar los seis Principios Didácticos que se infieren del estudio de la Historia de la Matemática:

• Enseñanza / Aprendizaje de lo particular a lo general.
• Actividad humana.
• Papel práctico de las Matemáticas.
• Recursos para evitar errores.
• Aplicación del Método heurístico.
• Finalidad cultural.

A continuación reproducimos las siguientes reflexiones sobre la Matemática, extraídas del artículo de Miguel de Guzmán Ozámiz “Matemáticas y Sociedad. Acortando distancias”:

• Es una actividad creadora de belleza, en la que se busca una cierta clase de belleza intelectual, solamente accesible, como Platón afirmaba, a los ojos del alma, y en esto consiste en el fondo la fuerza motivadora y conductora siempre presente en los esfuerzos de los grandes creadores de la Matemática. 
• Es un potente instrumento de intervención en las estructuras de la realidad a nuestro alrededor, ayudando en la aplicación de modelos fidedignos al mundo tanto físico como mental. En realidad, bien se puede afirmar que la mayor parte de los logros de nuestra tecnología no son sino Matemática encarnada con la mediación de otras ciencias.
• Es una actividad profundamente lúdica, tanto que en los orígenes de muchas de las partes más interesantes de la Matemática el juego ha estado presente de forma muy activa, como en la teoría de números, combinatoria, y probabilidad, entre otras.
• Esta presencia viva de la Matemática en nuestra cultura no es algo que vaya disminuyendo. Si observamos las tendencias que se manifiestan cada vez con más fuerza, parece claro que el predominio de la intuición matemática va a ser un distintivo bien patente de las civilizaciones futuras. 

Finamente, se exponen las conclusiones de Isabel Ortega en su artículo “La Historia que vivieron los matemáticos”, recuperable en Internet:        

Las cuestiones prácticas de la humanidad movieron a los matemáticos a resolver problemas a lo largo de toda la historia. Tanto los árabes se preocuparon por calcular las particiones de las complicadas herencias familiares, como los primeros matemáticos de la remota antigüedad concibieron el número cardinal para proteger sus rebaños de posibles pérdidas, los calculistas orientales desarrollaron métodos que necesitaban para el comercio, los egipcios hicieron geometría para determinar sus propiedades territoriales cuando las crecidas del Nilo borraban las marcas y la trigonometría se desarrolló a expensas de las necesidades de la navegación.

Pero además de estas motivaciones y muchas otras por el estilo asociadas al cálculo y a los intereses económicos que a priori se conceden a la tarea del matemático, es interesante observar la variada gama de intereses que han movido a los creadores de la matemática a desarrollar sus teorías. A Monge, involucrado con la Revolución Francesa, su dedicación a la consolidación de los ideales de libertad lo llevó a la creación de la Geometría Descriptiva; a los pitagóricos, su intento de plasmar una filosofía en base a sus creencias místicas, les hizo desarrollar la aritmética; Hipatya hizo matemática teórica a fin de proporcionar a sus contemporáneos unas herramientas racionales que contrarrestaran el dogmatismo de su época; Russell, admirado de la precisión del método matemático, y con el fin de aplicarlo a la filosofía, terminó haciendo filosofía de la matemática; los italianos renacentistas como Tartaglia, entusiasmados por el verdadero festín que les proporcionaba Gutemberg y mostrando un verdadero gusto por el desafío que entraña la resolución de problemas, arribaron a la fórmula de la resolución de la ecuación de tercer grado; Arquímedes dio pasos fundamentales en el cálculo fabricando máquinas a pedido del rey; todo esto sin olvidar a Platón que vio en la matemática una parte fundamental de la formación de los ciudadanos de su república ideal. Las pasiones más diversas han movido a la creación matemática y las producciones muestran a su vez los coloridos matices de las civilizaciones asignándoles a los matemáticos un lugar en la historia similar a la de los artistas que interpretan el momento que les toca vivir, dejan un testimonio de esa interpretación e influyen en las épocas posteriores.

Tal es la historia que vivieron los matemáticos.