Pitágoras y el cuadrado

Con motivo de la celebración del año mundial de las Matemáticas en 2000  se publicó un artículo en el que el profesor Martel (2000) expuso un interesante análisis del Teorema de Pitágoras y de sus posibilidades didácticas. De la innumerable cantidad de demostraciones del teorema, José Martel centra su atención en una en particular, a partir del análisis de un cuadrado, dadas las enormes posibilidades didácticas que ésta ofrece.

Dado un cuadrado, ABCD, en el que se ha colocado un punto P que se puede desplazar a lo largo de uno de sus lados. Se ve con facilidad que se pueden trazar dos pares de segmentos paralelos y otros dos perpendiculares a los primeros; además se observa, también con facilidad, que los triángulos formados son semejantes.

Se realiza entonces un análisis a partir de la relación entre las áreas de los cuadrados exterior [c2] e interior [(a-b)2], en función de la posición del punto P. A partir de ahí, José Martel realiza un estudio de varios casos de interés, estos son: para P localizado en el punto medio (DP/DE=1/2), si P está en una relación DP/DE=3/4 (Terna pitagórica 3,4,5), si P está localizado en una relación DP/DE=1/√3 (Caso en el que los ángulos agudos de los triángulos rectángulos son 30º y 60º) y finalmente, cuando P está en una posición donde DP es el segmento áureo de DE; por último, establece la relación para un caso general para cualquier valor de P.

A continuación se presenta un applet elaborado con Geogebra, que visualiza el comportamiento de esta figura y su relación con el teorema.