La historia de las Matemáticas en la Enseñanza

Desde que se establecieron los sistemas nacionales de educación, en cada generación se han alzado voces a favor de una aproximación histórica en la Enseñanza de las Matemáticas y, en particular, del uso de la Historia de las Matemáticas en su Enseñanza.

Como señaló Fauvel en 1991, un fuerte argumento para ello, sobre todo en los albores del siglo XX, fue el punto de vista genético, debido a Herbert Spencer, según el cual la génesis del conocimiento en cada niño debe seguir el mismo camino que la génesis del conocimiento en la raza.

El principio genético postula que el desarrollo de la inteligencia humana reproduce desde la infancia los pasos que ha seguido la evolución histórica de los conceptos matemáticos. Podemos ensayar en algunos temas, la aplicación del método genético. Este método, extraído de la Biología, pretende reconstruir el clima psicológico que envuelve a cada momento creador que haya supuesto un avance significativo en la Historia de las Matemáticas. La aplicación de este método en la Enseñanza ha sido reivindicada por ilustres matemáticos y profesores de Matemáticas, e intenta demostrar que, para la perfecta comprensión de un concepto determinado, el estudiante debe repetir, a grandes rasgos, el proceso histórico que se ha desarrollado hasta su formulación actual. Félix Klein (1849-1925), en su obra en dos volúmenes, “Matemática elemental desde un punto de vista superior”, destinada a la formación de los estudiantes de Magisterio, desarrolla un razonamiento genético. Así, al final del primer volumen señala: “Para precisar bien mi opinión en este punto (el punto de vista pedagógico-matemático que aconseja no dar demasiado pronto al alumno cosas demasiado abstractas y difíciles), he de recordar la ley fundamental biogenética, según la cual el individuo en su desarrollo recorre en rápida sucesión todos los estados del desarrollo de la especie a que pertenece. Este principio, creo yo, debiera ser seguido también, al menos en sus líneas generales, en la Enseñanza de la Matemática lo mismo que en cualquier otra Enseñanza; se debería conducir a la juventud, teniendo en cuenta su natural capacidad y disposición, lentamente hasta llegar a las materias elevadas y, finalmente, a las formulaciones abstractas, siguiendo el mismo camino por el que la humanidad ha ascendido desde su estado primitivo a las altas cumbres del conocimiento científico. Un inconveniente fundamental para la propagación de tal método de enseñanza, adecuado al alumno y verdaderamente científico es, seguramente, la falta de conocimientos históricos que se nota con sobrada frecuencia”.

La aplicación de este método consiste en realizar una reconstrucción histórica que ponga de manifiesto el conocimiento de las preguntas y necesidades que acarrearon en un período de la Historia la introducción de nuevos conceptos, así como los problemas específicos propios del nacimiento de los mismos. Estas dificultades se manifiestan asimismo de forma rotunda en el aprendizaje de los mismos conceptos y en la resolución de los mismos problemas, como ya señalaba Kline en 1908. Por ejemplo: si los números negativos no afloraron hasta el milenio de Historia Matemática, y si tuvieron que pasar otros mil años hasta que fueron aceptados por los matemáticos, es indudable que los estudiantes tendrán dificultades con esta clase de números. En el campo del Álgebra, es muy significativo el ejemplo siguiente. Si contemplamos la Historia del Álgebra, vislumbraremos las dificultades que tienen frecuentemente los escolares de  Educación Primaria y Secundaria con las letras que representan las incógnitas. Estos problemas son análogos a los que han padecido los matemáticos durante más de 20 siglos, en la transición desde el Álgebra Retórica de los griegos de la época clásica al Álgebra Simbólica de Vieta. Entre ambas, se desarrollaron las etapas intermedias del Álgebra Sincopada de Diofanto, los avances de los árabes y el famoso “Arte de la cosa” de los algebristas italianos del Renacimiento.

Célebres matemáticos españoles como Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam, entre otros, estimularon esta aproximación histórica, incluyendo en sus libros de texto comentarios sobre Historia de las Matemáticas adaptados a los alumnos.

Julio Rey Pastor destaca por su labor en la Didáctica de las Matemáticas. En 1910 fundó con algunos profesores la Sociedad Matemática Española, e introdujo y divulgó en España la Matemática moderna. En sus numerosas obras didácticas hay puntos de vista y demostraciones originales. Realizó trabajos de investigación histórica sobre las Matemáticas españolas del siglo XVI, entre otros.  Crea la Revista Matemática Hispano-Americana en 1919, y escribe muchos textos para la Enseñanza Secundaria, contribuyendo a la renovación de la enseñanza.

En nuestra práctica didáctica en el aula, debemos procurar ajustarnos al máximo posible al "Decálogo de la Didáctica de la Matemática Media" formulado por D. Pedro Puig Adam en 1955, y que exponemos a continuación.

“Se me piden normas didácticas. Preferiría despertar una conciencia didáctica; sugerir formas de sentir antes que modos de hacer. Sin embargo, por si valieran, ahí van las sugerencias que estimo más fundamentales:

• No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente.
• No olvidar el origen de las Matemáticas ni los procesos históricos de su evolución.
• Presentar las Matemáticas como una unidad en relación con la vida natural y social.
• Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.
• Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.
• Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.
• Promover en todo lo posible la autocorrección.
• Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.
• Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.
• Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento”. 

Estas ideas formuladas hace 60 años conservan todo su vigor y creemos que deben ser el objetivo en su práctica docente de cualquier profesor de Matemáticas.

La imagen ha sido reproducida de la portada de la revista Números, V. 41, abril de 2000, editada por la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas.

En Canarias, resaltamos la excelente labor pedagógica e investiga­dora desarrollada en los últimos cincuenta años por José Martel Moreno y Nácere Hayek Calil. Asimismo, también destacamos la figura de Martín Manuel Socas Robayna, Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Universidad de la Laguna, además de las áreas de Didáctica de la Matemática de las dos Universidades canarias.

La Historia debe ser una poderosa herramienta para lograr objetivos tales como:

• Mostrar la forma peculiar de brotar las ideas en Matemáticas.
• Enmarcar temporal y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con sus precedentes, motivación.
• Señalar los problemas abiertos de cada período, su evolución, la situación actual de los mismos.
• Anotar las conexiones históricas de la Matemática con otras ciencias, en cuya interacción han brotado tradicionalmente muchas ideas importantes. 

Se ha fomentado de nuevo el interés por los aspectos históricos en la Educación Matemática, a partir de la década de los setenta del siglo pasado. Schubring en 1983 (en Sierra, 1997), señalaba algunas muestras de este florecimiento:

• Fundación del Grupo Inter-IREM de Historia de las Matemáticas, cuyo objetivo es la utilización de la Historia de las Matemáticas en su enseñanza.
• Aparición del Grupo Internacional de Estudio sobre las relaciones entre la Historia y la Pedagogía de las Matemáticas (HPM).
• Numerosos trabajos que estudian las relaciones entre Historia de las Matemáticas y Enseñanza desde puntos de vista diferentes, realizados por autores como Janke, Otte y Schubring (los tres en Bielefeld, Alemania), Pyenson (Montreal), Dhombres (Nantes), Eccarius (Eisenach, Alemania) y Filloy (México), entre otros.
• Publicación de trabajos acerca de la Enseñanza de las Matemáticas desde el punto de vista de los enseñantes, como los realizados por Howson en Southampton, y de la historia del desarrollo de la Didáctica de las Matemáticas, como los de Glaeser (Estrasburgo) y Schmidt (Colonia).

Debemos resaltar las iniciativas siguientes, referidas a la utilización de la Historia de las Matemáticas en el Aula:

• La publicación en 1969 por el NCTM de la obra: “Historical Topics for the Mathematical Classroom”, en la que se detalla una serie de materiales históricos para la Educación Matemática.
• La obra colectiva de los IREM franceses: “Mathematiques au fil des ages”, en la que se ofrece una selección de textos que muestran cómo han evolucionado históricamente las Matemáticas.
• Los Congresos del HPM, entre los que destacan las dos Conferencias Internacionales sobre Historia y Epistemología en la Educación Matemática, celebrados en Montpellier (Francia, 1993) y en Braga (Portugal, 1996).

En junio de 1991, la revista “For the Learning of Mathematics”, http://flm.educ.ualberta.ca, publicó un número monográfico muy interesante. Culminaba así el interés de esta publicación periódica por impulsar en sus páginas el debate en torno al uso de la Historia de la Matemática en su aprendizaje.

En España también ha aumentado de manera notable la inquietud por los aspectos históricos en Educación Matemática desde diversas perspectivas, como lo refrendan la gran cantidad de ponencias y comunicaciones presentadas en congresos nacionales e internacionales, tesis doctorales leídas, artículos y monografías, así como por los numerosos cursos de doctorado y la organización de seminarios especializados.

Algunas de las razones que se manejan para la integración de la Historia de las Matemáticas en su Enseñanza son las siguientes:

Para el profesor constituye un antídoto contra el formalismo y el aislamiento del conocimiento matemático y un conjunto de medios que le permiten apropiarse mejor de dicho conocimiento, a la vez que le ayudan a ordenar la presentación de los temas en el currículo. La exploración de la Historia le ayudará también a descubrir los obstáculos y dificultades que se han presentado, los errores cometidos por los propios matemáticos, así como el papel de las Matemáticas como actividad humana.

Para los alumnos, las Matemáticas ya no representarán el papel de edificio acabado, restituyéndose su estatus de actividad cultural, de actividad humana, a la vez que es una fuerte motivación para su aprendizaje. 

J. Fauvel en 1991, proponía, las siguientes directrices por parte de los docentes en el aula:

1. Nombrar anécdotas matemáticas del pasado.
2. Presentar introducciones históricas de los conceptos que son nuevos para los alumnos.
3. Fomentar en los alumnos la comprensión de los problemas históricos cuya solución ha dado lugar a los distintos conceptos que aprenden en clase.
4. Impartir lecciones de Historia de las Matemáticas.
5. Pensar ejercicios utilizando textos matemáticos del pasado.
6. Promover la creación de pósteres, exposiciones u otros proyectos sobre un tema histórico.
7. Emplear ejemplos del pasado para ilustrar técnicas o métodos.
8. Realizar proyectos en torno a una actividad matemática local del pasado.
9. Explorar errores del pasado para ayudar a comprender y resolver dificultades de aprendizaje.
10. Imaginar aproximaciones pedagógicas al tópico de acuerdo con su desarrollo histórico.
11. Idear el orden y estructura de los temas dentro del programa de acuerdo con su desarrollo histórico.

En Ontoria, A. (1992), pp. 139-148, podemos ver una experiencia de trabajo sobre “Historia de la Matemática como recurso didáctico en el aula”, mediante el empleo de mapas conceptuales.

Es necesario por parte del profesorado realizar estudios sobre Historia de las Matemáticas. Hay muchas maneras de elaborar estos estudios:

• Obtener simplemente una cronología de nombres, citas, fechas y aspectos más trascendentes. Esta vía no requiere mucho esfuerzo de estudio, pero debemos ser conscientes que nos suministra una panorámica parcial de la Historia de las Matemáticas.
• Profundizar en la evolución del pensamiento y en el trabajo matemático. Es un camino muy interesante. Sin embargo, demanda una sólida formación matemática y humanística. Entre los temas de investigación señalamos los siguientes:

1. Las diferentes culturas científico-Matemáticas.
2. Evolución de los principales conceptos matemáticos.
3. Origen y Desarrollo de las diferentes Ramas de las Matemáticas: Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Análisis Matemático y Cálculo de Probabilidades.
4. Los hitos más trascendentales del pensamiento matemático.
5. Los problemas más interesantes.
6. Los diversos procedimientos de resolución.
7. Las Escuelas y Tendencias en Matemáticas.

• Existe también la posibilidad de analizar la Historia de la Matemática tomando como referencia a sus creadores. Una meticulosa selección de personajes es fundamental para poder ilustrar los momentos matemáticos más relevantes. Es un camino fructífero y motivador, ya que enlaza con la parte humana de los protagonistas de esa extraordinaria obra colectiva del espíritu humano que es la Matemática. No obstante, podemos excluir de nuestra selección a muchos actores trascendentales en la Historia de las Matemáticas, lo que constituye una dificultad.
• Utilización didáctica de vídeos. Existen vídeos con la biografía de matemáticos, otros que muestran algunas experiencias históricas, o descubrimientos que han ejercido una gran influencia en la vida de los seres humanos. El profesor debe elaborar fichas para que los alumnos las completen antes y después de la proyección. A modo de ejemplo podemos citar: “Donald en el País de las Matemáticas”, volumen 5 del Canal Disney, véase Del Río, J. (1988). También podemos resaltar las series: “Universo Matemático” y “Más por Menos”, de Antonio Pérez Sanz.
• Otro eje interesante es observar atentamente la evolución y desenlace de algunos “problemas matemáticos”. Algunas de las cuestiones que pueden averiguarse son las siguientes: a) ¿Cuándo se esbozó el problema?  b) ¿Quién o quiénes lo diseñaron?  c) ¿Quiénes lo solucionaron?  d) ¿Con qué dificultades se toparon en la resolución del problema?  e) ¿Fueron publicadas las soluciones?
• Podríamos profundizar en ciertas ramas de las Matemáticas: Álgebra, Análisis, Aritmética, Estadística, Geometría y Probabilidad.
• Finalmente, nuestro interés se puede centrar en un personaje o en una determinada cultura. Así, por ejemplo, podríamos tratar: Las figuras de Euler, Kolmogorov; las culturas matemáticas griega o egipcia.

Para concluir, señalamos que cualquiera que sea la opción adoptada, dispondremos de una serie de personajes, hechos, problemas, culturas, que gradualmente nos ayudarán a comprender mejor la Historia de las Matemáticas.