Lugares geométricos mediante Cabri Géomètre II

Se expone aquí un extenso artículo sobre construcciones de lugares geométricos varios, usando el recurso Cabri Géomètre, desde el que se analizan diversos modos de construir y se investigan algunas curvas representativas.

El autor comienza indicando tres diferentes casos en la construcción, éstos son: lugares engendrados por un punto, lugares engendrados por un segmento, semirrecta o recta y, lugares formados como envolventes de circunferencias. Para todos estos casos, indica en líneas generales, como proceder a su construcción.

A continuación describe de manera detallada, cómo construir una Cicloide para varios casos de una curva base por la que se desliza el punto generador, también analiza esta figura desde un punto de vista histórico y destaca además, la rapidez en la obtención de parámetros de la cicloide, por ejemplo, La longitud del arco, el área que encierra o la relación con el círculo generador, por medio de Cabri.

Además de las cicloides generadas tomando como base una línea recta, otras situaciones analizadas con detalle por el profesor Martel responden al desarrollo a partir de una trayectoria circular, con casos que dan lugar a epicicloides, hipocicloides, etc. según la posición y la relación entre los radios de las circunferencias base y generatriz.

También analiza en este trabajo, otras construcciones geométricas tales como envolventes de la circunferencia y algunos métodos para la obtención de cónicas, generadas como lugares geométricos. En este apartado realiza un minucioso estudio sobre obtención de otras curvas generadas a partir de las anteriores; por ejemplo, utiliza la herramienta Inversión, que ofrecen los recursos tecnológicos, que permiten crear de manera prácticamente automática, el inverso de un objeto; para ello muestra varios casos de inversión de los puntos P que generan los lugares geométricos respecto a una circunferencia de inversión, cuando el polo de ésta se coloca en diversos puntos; así consigue generar figuras tales como una lemniscata u óvalos de Cassini. Pero además, detalla cómo construir Podarias de las cónicas al tomar como punto fijo, algunos puntos notables, y analiza diversos casos de éstas; por ejemplo, la podaría de una elipse, cuando se toma un punto fijo sobre una directriz, sobre un foco o sobre un vértice.

Varías de estas construcciones han sido recreadas con Geogebra, con imágenes añadidas a continuación, mientras que los applets están disponibles en la página web.

Por último, analiza la construcción de curvas famosas construidas para la resolución de tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Estas curvas las construyó el profesor Martel, con Cabri Géomètre, como lugares geométricos: la cuadratriz de Dinostrato, utilizada por Hipias de Elis para la trisección del ángulo y por Dinostrato para la cuadratura del círculo; la cisoide de Diocles, que se usó para resolver el problema de la duplicación del cubo; la conoide de Nicomedes y la espiral de Arquímedes, usadas para la trisección del ángulo. Con las construcciones hechas en este estudio, José Martel quiso verificar que aplicaciones como Cabri poseen una potencia considerable para descubrir propiedades geométricas y profundizar en ellas, debido a la facilidad de uso, a la calidad gráfica de lo obtenido y a la rapidez con la que se pueden obtener lugares geométricos innumerables. Sin olvidar el cálculo analítico, que confirme lo observado, el profesor Martel se muestra tremendamente maravillado y transmite la emoción que siente, con el descubrimiento de lugares geométricos hasta ahora desconocidos, con la ayuda de los potentes recursos de Geometría dinámica.