Núm.8/9. Fórmulas generales para la determinación de áreas y volúmenes
El profesor Martel realiza un repaso de las fórmulas usadas generalmente para calcular áreas y volúmenes, con el objetivo de reducirlas a unas pocas más generales. También analiza la fórmula de Simpson y expone algunos casos particulares.
Después de citar la frase “Un conocimiento profundo de las cosas no lo obtendremos ni ahora ni nunca, en tanto no las contemplemos en su crecer desde el principio” de Aristóteles, comienza con un sencillo repaso de las fórmulas para el cálculo de áreas de paralelogramos, triángulos y trapecios; fórmula que extiende a los polígonos regulares, círculos y coronas circulares; la fórmula Área = Cm x a, permitiría conocer las áreas de las figuras mencionadas, después de realizar pequeñas modificaciones, por ejemplo, Cm sería la base media o el contorno medio y a, la altura, la apotema o el radio, según la figura.
Por extensión, esa expresión también permitiría conocer áreas de figuras en el espacio, tales como prismas, pirámides, troncos de pirámides, cilindros, conos, troncos de cono; donde Cm sería el perímetro del contorno medio o la longitud de la circunferencia de la sección media y a, la altura o la generatriz, según la figura.
Respecto al cálculo del área de figuras esféricas, parte de la fórmula Área = 2πa x h, para el área de la superficie de una figura engendrada por una poligonal regular que gira alrededor de un eje coplanario, que pasa por el centro, donde a es la apotema de la poligonal o el radio de la circunferencia inscrita y h, es la proyección sobre el eje de revolución. En el caso en que la poligonal sea una circunferencia, la expresión permite conocer la superficie de una esfera, una zona esférica o un casquete esférico.
A continuación, José Martel analiza las expresiones para el cálculo de volúmenes de sólidos, y comienza con un repaso de los prismatoides o prismoides, cuyo volumen demuestra que puede ser obtenido a partir de h/6 x (B1 + B2+ 4B3), donde h es la altura del cuerpo y B1, B2 y B3 las áreas de las bases superior, inferior y media respectivamente. Explica también, que esta fórmula puede ser aplicada, por extensión, a troncos de pirámide y troncos de cono; también a la obtención del volumen de un dodecaedro e icosaedro regular.
Posteriormente realiza un estudio de la obtención del volumen de un sector esférico, de una esfera o de un segmento esférico, a partir de la expresión demostrada, Volumen = 2πa x h x a/3, es decir, el área de la superficie de la figura esférica por un tercio de la apotema. De ella se deduce, por ejemplo, el cálculo de la esfera. Así mismo, detalla el cálculo del volumen de una elipsoide a partir de h/6 x (B1+B2+4B3), dando lugar a la expresión 2c/6 x (0+0+4πab) = 4/3 x πabc, siendo a, b y c los semiejes. De igual manera deduce las fórmulas para el hiperboloide y paraboloide.
En un apartado posterior realiza un estudio del cálculo del volumen de otros cuerpos, tales como el aparecido en la obra Stereometrica, atribuida a Herón de Alejandría, parecido a un tronco de pirámide; también el de cuñas triangulares, cuñas cilíndricas y antiprismas, obtenidos aquí a partir de la fórmula del prismatoide directamente. Además expone que esa misma fórmula, h/6 x (B1 + B2+ 4B3), puede ser empleada para obtener áreas de trapecios, paralelogramos, triángulos, trapecios curvilíneos o la corona circular.
A continuación hace un repaso de la regla de Simpson, cuya expresión también coincide con la obtenida para el volumen del prismatoide, y realiza algunos análisis para situaciones particulares, tales como la aplicación de la regla de Simpson en el plano o el cálculo aproximado del volumen de un tonel.
Finalmente, como conclusión considera que cualquiera de las expresiones a las que hace referencia, que permiten obtener valores de áreas o volúmenes para casos particulares sencillos, pueden ser obtenidas de la fórmula del volumen del prismatoide, realizando las oportunas modificaciones, y expone algunos casos particulares resueltos en los Anexos de la publicación.
A partir del análisis de este artículo del profesor Martel, en el que da una importancia especial a la fórmula para el cálculo del volumen de un prismatoide (V = h/6 x (B1 + B2+ 4B3), pues generaliza la determinación de áreas y volúmenes, se ha realizado un applet con Geogebra que facilita la visualización de su obtención.