Lugares geométricos pintorescos (2)

Este artículo es una continuación del anterior; aquí el profesor Martel expresa la emoción que siente con el descubrimiento, ayudado de las tecnologías informáticas, de nuevas figuras, que incluso pueden tener la forma de algún objeto real.

Pero, además de la construcción de los lugares geométricos, presenta las ecuaciones de las curvas obtenidas, que pueden ser incorporadas posteriormente a programas informáticos específicos que devuelven el mismo tipo de figura.

Comienza este artículo, con un estudio de las ecuaciones cartesianas de la Montera, que obtiene con ayuda de Cabri y también de forma analítica a partir de la semejanza de dos triángulos situados para originar la figura. Al aplicar la inversión del punto P que genera la montera, obtiene otra curva cerrada que denomina Paleta, de la que también expone sus coordenadas cartesianas.

De otra figura, que analizó en el anterior artículo, el Bicornio, se obtiene la curva del Casco de Motorista, a partir de la inversión del punto P, que se detalla también en el capítulo previo sobre la pasión por la Geometría y que aquí se analiza con sus ecuaciones cartesianas.

Para la figura del Ojo del insecto, obtenida como la inversa de la Cuántica x⁴+(x²-a²) (y-a)²=0, en trazo discontinuo en la imagen, da también su ecuación cartesiana, aunque indica que la aplicación Cabri comienza a presentar pequeños errores para algunos casos de coeficientes, lo que hace necesario añadir el estudio analítico que lo contraste.

Un corazón más estilizado que la tradicional Cardioide fue obtenido en este estudio, junto a sus ecuaciones paramétricas y además muestra cómo obtener una cardioide a partir de la inversión de una parábola.

Otras figuras que analiza en este artículo son las de una Perla barroca, el Antifaz, el Nudista y el Lazo; todas ellas son analizadas con detalle, tanto analíticamente como de manera descriptiva, con apoyo del programa Cabri. A continuación se muestra una imagen de cada una, obtenidas de las actualizaciones hechas con Geogebra.

La figura del Lazo de niña y de su inversa, dio lugar a un análisis más detallado en función del parámetro k, distancia del punto S a O; siendo los casos analizados, cuando k es mayor, igual, mayor que la mitad, la mitad o menor que la mitad del radio de la circunferencia, a; o igual a 0. Además indica que el vértice V del triángulo equilátero MM’V genera una figura semejante a la del punto P. Todas estas situaciones se visualizan rápidamente a partir del applet actualizado con Geogebra.

Para todas estas figuras, la aplicación Cabri cuenta con una interesante herramienta, Ecuación, que proporciona de forma automática, las ecuaciones cartesianas o polares para las curvas seleccionadas. Geogebra no cuenta con una herramienta de uso directo de este tipo.

Finalmente, el profesor Martel hace unas consideraciones finales, donde anima a seguir descubriendo figuras geométricas con siluetas que recuerden objetos reales, dada la gran satisfacción obtenida con los resultados. También menciona los errores que puede ocasionar la aplicación de la herramienta Ecuación de Cabrí que da, la mayoría de las veces, resultados aproximados, por lo que recomienda cierta prudencia y, por último hace referencia a la operación Inversión, que permite adentrarse en todo un mundo de figuras inversas a otras y analizar cuestiones relacionadas con esta característica.