Lugares geométricos relacionados con un triángulo cuyos vértices son puntos de una curva plana cualquiera
Se expone una serie de curiosos lugares geométricos, generados todos a partir de puntos relacionados con un triángulo, cuyos vértices están sobre una curva plana, cuando uno de los vértices la recorren; en todos los casos estudiados, con el empleo de los paquetes informáticos Cabri-Géomètre y Geometer’s Sketchpad, se observaron varias regularidades respecto a la formación de curvas homotéticas a la curva base.
El profesor Martel comienza el análisis tomando una elipse como curva base, en la que sitúa los vértices de un triángulo. En la construcción se observa fácilmente que el Baricentro (G) genera una curva homotética a la elipse base, con centro en M y da razón 1/3. El Circuncentro (O) genera un segmento contenido en la mediatriz. Un punto cualquiera (P) sobre la recta de Euler, genera una elipse que toma distintas posiciones y orientaciones, según la localización de P. También realiza un análisis exhaustivo sobre el comportamiento de otros puntos localizados sobre las rectas que contienen a los lados del triángulo o sobre un haz de rectas. Las aplicaciones informáticas permiten comprobar con mucha facilidad cualquier propiedad geométrica en las figuras generadas.
A continuación realiza el mismo análisis sobre una hipérbola y sobre una parábola, utilizando el mismo procedimiento, para visualizar y estudiar las razones de las homotecias formadas.
Todo lo analizado es aplicable a las tres curvas, salvo una diferencia, el punto O (Circuncentro) genera un segmento en la elipse, una recta en la hipérbola y una semirrecta en la parábola.
Posteriormente, pasa a hacer un estudio de casos particulares, tales como el de un triángulo inscrito en una circunferencia, el de un triángulo con sus vértices en dos rectas que se cortan y el de otro con sus vértices en dos rectas paralelas. En estos dos últimos casos se espera un comportamiento, en cierto modo, análogo al de los casos de la hipérbola y de la parábola respectivamente, pues se trataría de casos de una hipérbola y de una parábola, degeneradas. Efectivamente, observa que el comportamiento es similar salvo en dos casos: en el Circuncentro (O), que genera una semirrecta en lugar de una recta y en el Baricentro (G), que genera una única recta paralela a la que recorre el vértice A del triángulo; estos casos se explican porque el vértice no pasa de una recta a la otra cuando se cortan, o de una recta a la otra cuando son paralelas.
Finalmente, realiza un estudio detallado de otros casos particulares; así, analiza el comportamiento de los puntos notables de un triángulo inscrito en otro triángulo o en un polígono cóncavo, donde observa ya algunas irregularidades en puntos sobre la recta de Euler; el de un triángulo con los vértices sobre una parábola cúbica o un cisoide (y2=x3/(2-x)), en el que se ilustran algunas regularidades e irregularidades. También estudia cuánticas, tales como un una deltoide, que conserva algunas regularidades; una peonza (x2/a2+y2/(a+x)2=1), que presenta algunas deformaciones con algunos de los puntos; pero también algunas curvas homotéticas, una bala (x2/(a+y)2 + y2/(a+x)2 = 1), con iguales comportamientos que las curvas anteriores. Amplía además el estudio, a curvas de 6º grado, por ejemplo, una nefroide o un astroide, con las regularidades habituales y algunas deformaciones.
Por último, concluye el estudio a tres curvas base, una sinusoide, una cicloide y una catenaria, en las que analiza regularidades e irregularidades de los lugares geométricos generados por los puntos notables.