Generalizaciones del teorema de Pitágoras
Se trata de un estudio muy detallado sobre generalizaciones del teorema de Pitágoras, debidas a varios autores, tales como Pappus de Alejandría o Thabit ibn Qurra, donde expone varios casos de figuras y algunas prolongaciones del teorema, inspiradas en construcciones de su colega Emma Castelnuovo.
De un teorema extraído del libro IV de Pappus de Alejandría, hace una sencilla construcción de dos paralelogramos sobre dos lados de un triángulo cualquiera y un tercer paralelogramo, equivalente a la suma de los dos anteriores sobre el lado tercero, que aquí se ha reproducido mediante Geogebra.
Ayudado de Cabri para la construcción de la figura y para la visualización de las áreas de las figuras poligonales, el profesor Martel procedió al análisis de varios casos según la forma de los paralelogramos y el valor del ángulo: cuando los dos paralelogramos son cuadrados; cuando además, el ángulo A es de 90º, que responde al caso particular del Teorema de Pitágoras, donde también muestra una curiosa demostración de éste, atribuida también a Pitágoras; además, otros casos en los que los paralelogramos se construyen hacia el interior del triángulo.
A continuación, realiza un análisis de la generalización que hace el matemático Thabit ibn Qurra, cuya visualización, apoyada también con tecnologías, es inmediata y permite estudiar casos según el valor del ángulo A.
La construcción hecha con Cabri por el profesor Martel se ha actualizado también con Geogebra y se muestra una imagen a continuación.
Por último, José Martel realiza una serie de construcciones curiosas, de figuras semejantes sobre los lados de un triángulo, basadas en las generalizaciones del teorema de Pitágoras y de prolongaciones arborescentes del teorema, inspiradas en trabajos de Emma Castelnuovo. A lo largo de este apartado hace un minucioso y laborioso análisis de casos, tales como el de polígonos que puedan tener dos o más, uno o incluso ningún vértice en común con los lados de un triángulo rectángulo; o el de figuras generales construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo; o finalmente sobre un triángulo cualquiera. Una generalización de este análisis y una prolongación arborescente del teorema, se muestran en una actualización realizada con Geogebra. En el caso del applet para construir la prolongación arbórea, al igual que hizo el profesor Martel con Cabri, se han creado herramientas nuevas con Geogebra (Macros) que facilitan muchísimo la construcción.